Эластичность есть мера изменения зависимой переменной в ответ на изменение независимой переменной.
Пусть y(x) -функция, характеризующая, например, издержки производства, где x - количество выпускаемой продукции. Тогда отношение y(x)/x описывает средние издержки, приходящиеся на одно изделие. Средняя величина обозначается Ay или Af (от английского "average".) Среднее приращение, средний прирост, средняя скорость изменения определяется отношением D y/D x.
Производная
выражает предельные (маргинальные от английского "marginal") издержки производства. Величину Mf(x) = y' называют мгновенным приростом или мгновенной скоростью изменения y. Аналогично можно определить предельную выручку, предельный доход, предельную полезность и другие предельные величины.
Эластичностью функции Ex(y) называется величина
Считаем, что y(x) эластична в точке x, если |Ex(y)|>1, y(x) неэластична, если |Ex(y)| <1, и нейтральна, если |Ex(y)| = 1.
Свойства эластичности.
Эластичность - безразмерная величина, ее значение не зависит от того, в каких единицах измерены аргумент и функция. Если u = Ax, v = By, то Eu(v) = (dv/du)· u/v=(B/A)· (dy/dx)· (Ax/By) = Ex(y);
Эластичности взаимно обратных функций - взаимно обратные величины
Ey(x) = (dx/dy)·(y/x) = 1/Ex(y).
Эластичность функции равна произведению независимой переменной x на темп изменения функции Ty = (ln y)' = y'/y, то есть
Ex(y) = xTy.
Эластичность произведения (частного) двух функций равна сумме (разности) эластичностей этих функций:
Ex(uv) = Ex(u)+Ex(v), Ex(u/v) = Ex(u)-Ex(v).
Из последнего свойства следуют формулы
Ex(xy) = Ex(x)+Ex(y) = 1+Ex(y)
отсюда, если Ex(y)>-1, то xy монотонно возрастает; если Ex(y)<-1, то xy монотонно убывает. Аналогично,
Ex(y/x) = Ex(y)-Ex(x) = Ex(y)-1
(с) Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Лекция: ТЕХНИКА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ, ФИЗИЧЕСКИЙ, ЭКОНОМИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ.ЭЛАСТИЧНОСТЬ И ЕЕ СВЯЗЬ С ПРОИЗВОДНОЙ . Назиев А.Х.